3 способа нахождения площади

Как найти площадь фигуры

О чем эта статья:

Обозначение площади

Площадь — это одна из характеристик замкнутой геометрической фигуры, которая дает нам информацию о ее размере. S (square) — знак площади.

Если параметры фигуры переданы в разных единицах измерения длины, мы не сможем решить ни одну задачу. Поэтому для правильного решения необходимо перевести все данные к одной единице измерения.

Популярные единицы измерения площади:

• квадратный миллиметр (мм 2 );
• квадратный сантиметр (см 2 );
• квадратный дециметр (дм 2 );
• квадратный метр (м 2 );
• квадратный километр (км 2 );
• гектар (га).

Круг — это множество точек на плоскости, ограниченных окружностью, удаленных от центра на равном радиусу расстоянии. Радиусом принято называть отрезок, соединяющий центр с любой точкой окружности.

S = π × r 2 , где r — это радиус, π — это константа, которая равна отношению длины окружности к диаметру, она всегда равна 3,14.

S = &pi × d 2 : 4;, где d — это диаметр.

S = L 2 ​ : (4 × π), где L — это длина окружности.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Треугольник

Треугольник — это геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, соединенных тремя отрезками. Эти три точки принято называть вершинами, а отрезки — сторонами. Рассчитать площадь треугольника можно несколькими способами по исходными данным, давайте их рассмотрим.

1. Если известна сторона и высота.

S = 0,5 × a × h, где a — длина основания, h — высота, проведенная к основанию.

Основание может быть расположено иначе, например так:

При тупом угле высоту можно отразить на продолжение основания:

При прямом угле основанием и высотой будут его катеты:

2. Если известны две стороны и синус угла.

S = 0,5 × a × b * sinα, где a и b — две стороны, sinα — синус угла между ними.

3. Если есть радиус описанной окружности.

S = (a × b × с) : (4 × R), где a, b и с — стороны треугольника, а R — радиус описанной окружности.

4. Если есть радиус вписанной окружности.

S = p × r, где р — полупериметр треугольника, r — радиус вписанной окружности.

Прямоугольник

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые. Узнать площадь прямоугольника помогут следующие формулы:

S = a × b, где a, b — длина и ширина прямоугольника.

S = a × √(d 2 — а 2 ), где а — известная сторона, d — диагональ.

Диагональ — это отрезок, который соединяет вершины противоположных углов. Она есть во всех фигурах, число вершин которых больше трех.

S = 0,5 × d 2 × 𝑠𝑖𝑛(𝑎), где d — диагональ, α — угол между диагоналями.

Квадрат

Квадрат — это тот же прямоугольник, но при условии, что все его стороны равны. Найти его площадь легко:

S = а 2 , где a — сторона квадрата.

S = d 2 : 2, где d — диагональ.

Трапеция

Трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны и две не параллельны.

S = 0,5 × (a + b) × h, где a, b — два разных основания, h — высота трапеции.

Построить высоту трапеции можно, начертив отрезок так, чтобы он соединил параллельные стороны под прямым углом.

Параллелограмм и ромб

Параллелограмм — четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Расскажем про общие формулы расчета площади этих фигур.

S = a × h, где a — сторона, h — высота.

S = a × b × sinα, где a и b — две стороны, sinα — синус угла между ними. Для ромба формула примет вид S = a 2 × sinα.

Для ромба: S = 0,5 × (d₁ × d₂), где d₁, d₂ — две диагонали. Для параллелограмма: S = 0,5 × (d₁ × d₂) × sinβ, где β — угол между диагоналями.

Формулы площадей всех основных фигур

1. Формула площади круга через радиус или диаметр

Зная диаметр или радиус круга, можно найти его площадь.

r — радиус круга

D — диаметр

Формула площади круга, (S):

2. Формула расчета площади треугольника

h — высота треугольника

a — основание

Площадь треугольника (S):

3. Площадь треугольника, формула Герона

a , b , c , — стороны треугольника

p— полупериметр, p=( a + b + c )/2

Формула ( Герона ) площади треугольника через полупериметр ( S ):

4. Площадь прямоугольного треугольника по катетам

Зная катеты прямоугольного треугольника, можно по формуле, найти его площадь.

a , b — катеты треугольника

Формула площади прямоугольного треугольника, (S):

5. Как вычислить площадь равнобедренного треугольника ?

b — основание треугольника

a — равные стороны

h — высота

Формула площади треугольника через высоту h и основание b , ( S ):

Формула площади треугольника через, стороны a , b , (S):

6. Площадь равностороннего треугольника равна:

Формулы расчета, площади равностороннего треугольника.

a — сторона треугольника

h — высота

Площадь треугольника только через сторону a , (S):

Площадь треугольника только через высоту h , ( S ):

Площадь треугольника через сторону a и высоту h , (S):

7. Найти площадь треугольника, угол и две стороны

Зная у треугольника, две стороны и синус угла между ними, находим по формуле, его площадь.

a , b , c — стороны треугольника

α , β , γ — углы

Формулы площади треугольника, через две стороны и угол между ними, ( S ):

8. Площадь треугольника по стороне и двум углам, формула.

a , b , c — стороны треугольника

α , β , γ — противолежащие углы

Площадь треугольника через сторону и два угла (S):

9. Формула расчета площади прямоугольника

b — длина прямоугольника

a — ширина

Формула площади прямоугольника, (S):

10. Как рассчитать площадь квадрата через диагональ или сторону

a — сторона квадрата

c — диагональ

Формула площади квадрата через сторону a , (S):

Формула площади квадрата через диагональ c , (S):

11. Формулы площади параллелограмма

1. Формула площади параллелограмма через стороны и углы

a, b — стороны параллелограмма

α , β — углы параллелограмма

Формула площади через стороны и углы параллелограмма, ( S ):

2. Формула площади параллелограмма через сторону и высоту

a, b — стороны параллелограмма

H _b — высота на сторону b

H _a — высота на сторону a

Формула площади через стороны и высоты параллелограмма, (S):

3. Формула площади параллелограмма через диагонали и угол между ними

D — большая диагональ

d — меньшая диагональ

α , β — углы между диагоналями

Формула площади через диагонали параллелограмма и угол между ними , (S):

12. Площадь произвольной трапеции

1. Формула площади трапеции через основания и высоту

b — верхнее основание

a — нижнее основание

m — средняя линия

h — высота трапеции

Формула площади трапеции, (S):

2. Формула площади трапеции через диагонали и угол между ними

d ₁, d ₂ — диагонали трапеции

α , β — углы между диагоналями

Формула площади трапеции, (S):

3. Формула площади трапеции через четыре стороны

b — верхнее основание

a — нижнее основание

c, d — боковые стороны

Формула площади трапеции, (S):

13. Площадь равнобедренной трапеции

1. Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол

b — верхнее основание

a — нижнее основание

c — равные боковые стороны

α — угол при нижнем основании

Формула площади равнобедренной трапеции через стороны, (S):

Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол, (S):

2. Формула площади равнобокой трапеции через радиус вписанной окружности

R — радиус вписанной окружности

D — диаметр вписанной окружности

O — центр вписанной окружности

H — высота трапеции

α , β — углы трапеции

Формула площади равнобокой трапеции через радиус вписанной окружности, (S):

СПРАВЕДЛИВО, для вписанной окружности в равнобокую трапецию:

3. Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними

d — диагональ трапеции

α , β — углы между диагоналями

Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними, (S):

4. Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании

m — средняя линия трапеции

c — боковая сторона

α , β — углы при основании

Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании, (S ):

5. Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту

b — верхнее основание

a — нижнее основание

h — высота трапеции

Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту, (S):

Как найти площадь треугольника – все способы от самых простых до самых сложных

Зависит от того, какой треугольник.

Чтобы найти площадь треугольника, надо сначала определить тип треугольника: прямоугольный, равнобедренный, равносторонний. Если он у вас не такой – отталкивайтесь от других данных: высоты, вписанной или описанной окружности, длин сторон. Привожу все формулы ниже.

Если треугольник прямоугольный

То есть один из его углов равен 90 градусам.

Надо перемножить катеты и поделить на два. Катеты – это две меньшие стороны, в сравнении с гипотенузой. Гипотенуза – это самая длинная сторона, она всегда находится напротив угла в 90 градусов.

Если он равнобедренный

То есть у него равны боковые стороны. В таком случае надо провести высоту к основанию (той стороне, которая не равна «бедрам»), перемножить высоту с основанием и поделить результат на два.

Если он равносторонний

То есть все три стороны равны. Ваши действия такие:

1. Найдите квадрат стороны – умножьте эту сторону на нее же. Если у вас сторона равна 4, умножьте 4 на 4, будет 16.
2. Умножьте полученное значение на корень из 3. Это примерно 1,732050807568877293527.
3. Поделите все на 4.

Если известна сторона и высота

Площадь любого треугольника равна половине произведения стороны на высоту, которая к этой стороне проведена. Именно к этой, а не к какой-то другой.

Чтобы провести высоту к стороне, надо найти вершину (угол), которая противоположна этой стороне, а потом опустить из нее на сторону прямую линию под углом в 90 градусов. На картинке высота обозначена синим цветом и буквой h, а линия, на которую она опускается, красным цветом и буквой a.

Если известны две стороны и градус угла между ними

Если вы знаете, чему равны две стороны и угол между ними, то надо найти синус этого угла, умножить его на первую сторону, умножить на вторую и еще умножить на ½:

Если известны длины трех сторон

1. Найдите периметр. Для этого сложите все три стороны.
2. Найдите полупериметр – разделите периметр на два. Запомните значение.
3. Отнимите от полупериметра длину первой стороны. Запомните.
4. Отнимите от полупериметра длину второй стороны. Тоже запомните.
5. Отнимите от полупериметра длину третьей стороны. И ее запомните.
6. Умножьте полупериметр на каждое из этих чисел (разницу с первой, второй и третьей стороной).
7. Найдите квадратный корень.

Эта формула еще называется формулой Герона. Возьмите на заметку, если вдруг учитель спросит.

Если известны три стороны и радиус описанной окружности

Окружность вы можете описать вокруг любого треугольника. Чтобы найти площадь «вписанного» треугольника – того, который «вписался» в окружность, надо перемножить три его стороны и поделить их на четыре радиуса. Смотрите картинку.

Если известны три стороны и радиус вписанной окружности

Если вам удалось вписать в треугольник окружность, значит она обязательно касается каждой из его сторон. Следовательно, расстояние от центра окружности до каждой из сторон треугольника – ее радиус.

Чтобы найти площадь, посчитайте сначала полупериметр – сложите все стороны и поделите на два. А потом умножьте его на радиус.

Это были все способы найти площадь треугольника. Спасибо, что дочитали статью до конца. Лайкните, если не трудно.